Политик родился 3 августа 1968 года в Нижнем Новгороде. Его первым местом работы стал завод «Двигатель революции», где он работал контролером 3-го разряда. Позже Савельев воевал в Афганистане, за что получил две медали «За отвагу».
После военной службы нижегородец получил высшее образование в области экономики и юриспруденции, а также степень кандидата юридических наук. Это образование стало фундаментом для его дальнейшей карьеры.
В 1990-х годах Савельев занимал руководящие должности в нефтяной отрасли. Он был генеральным директором «Лукойл-Уфа» и «Лукойл-Нижний Новгород», президентом «Норси-ойл». Пиком его карьеры в этой сфере стал пост президента «Транснефти» в 1998–1999 годах.
Политическая карьера Савельева началась в 1998 году с избрания в Законодательное собрание Нижегородской области. В 1999 году он стал депутатом Государственной думы от Нижегородской области.
С 2003 по 2016 год Савельев прочно обосновался в Госдуме, став депутатом четырех созывов подряд. За эти 13 лет он успел поработать на два региона: сначала представлял интересы нижегородцев, а затем переключился на Тульскую область.
В парламенте Савельев не терял времени даром. Он занял пост заместителя председателя комитета по энергетике, транспорту и связи, активно участвуя в законотворческом процессе.
Но главным его достижением стал взлет по партийной лестнице «Единой России» — Савельев дослужился до первого заместителя руководителя фракции, став одной из ключевых фигур в партии власти.
В 2016 году Савельев стал членом Совета Федерации от Тульской области. На этом посту он был отмечен государственными наградами, включая орден Александра Невского и орден Почета.
2 августа 2024 года Совет Федерации снял с Савельева неприкосновенность, подозревая в страшном преступлении — организации убийства. Не успело закончиться заседание, как нижегородца уже увозили в наручниках.
По слухам, все началось летом 2023 года. Тогда Савельев крупно поссорился со своим партнером по бизнесу, из-за чего и пошел на преступление.