Антон Путило начал карьеру в минском «Динамо», в составе которого стал трехкратным серебряным призером первенства Белоруссии, затем выступал за немецкий «Гамбург», а последние сезоны провел в другом клубе бундеслиги – «Фрайбурге». Всего в Германии белорус провел 50 матчей.
Полузащитник выступал за юношеские сборные Белоруссии, в 2009 году принял участие в молодежном чемпионате Европы в Швеции. За основную команду Белоруссии Путило сыграл более 30 игр, забив 5 мячей.
По мнению заместителя губернатора Нижегородской области, председателя правления футбольного клуба «Волга» Дмитрия Сватковского, с приобретением Антона Путило клуб усилил очередную позицию, которую планировалось укрепить до возобновления чемпионата в марте этого года. «Важно и то, что благодаря этому трансферу конкуренция в линии полузащиты и возможность варьировать состав возросли еще больше, что пойдет на пользу команде. Надеемся, Антон поможет «Волге» и продемонстрирует яркий и зрелищный футбол», - заявил Дмитрий Сватковский.